Оптимизация финансового портфеля по Марковицу: как идеи нобелевского лауреата использовать на современных рынках

Время на чтение: 14 минут

Портфельная теория Марковица

Гарри Марковиц считается одним из основателей современной портфельной теории. Разработанные им в 1952 г. принципы активно используются инвесторами при формировании портфелей активов и по сей день. Позднее его модель принесет автору Нобелевскую премию.

В данной статье мы рассмотрим механизм создания портфеля по Марковицу с использованием программы Microsoft Excel и покажем, как ее можно использовать даже при самом неблагоприятном стечении событий (и не только на рынке акций).

Содержание

Принципы формирования финансового портфеля по Марковицу

Портфель активов состоит из множества финансовых инструментов, каждый из которых имеет свой собственный вес. Если говорить современным языком, то портфель включает в себя активы, каждый из которых приобретается с разной лотностью. К примеру, если взять простой портфель из двух акций, то распределение весов со значениями 0,2 и 0,8 может выражаться в приобретении 2 лотов первой акции и 8 лотов второй.

В своей работе Марковиц разработал методологию анализа, позволяющую формировать портфель из оптимально выбранных активов, главным критерием которого является соотношение «доходность/риск». Выбор активов в портфель формируется на основе двух факторов:

  1. Средней доходности инструмента, рассчитываемой на исторических значениях.
  2. Риска инструмента, математически определяемого как среднеквадратичное отклонение доходности актива. Другими словами, за риск принимается средняя волатильность торгового инструмента.

Модель Марковица предполагает, что (1) имеются исторические данные по активу, позволяющие высчитать показатели доходности и риска, (2) инвестор заинтересован в том, чтобы максимизировать доходность и минимизировать риск, (3) сравнение портфелей основывается исключительно на соотношении параметров доходности и риска.

Желание инвестора получать максимально возможную доходность при фиксированном риске назовем принципом наивысшей доходности. Стремление инвестора выбрать наименьшее значение риска при заданном уровне доходности назовем принципом наименьшего риска. Именно на этих важных принципах основывается модель Марковица (которые будут полезны и вне его модели). Помимо них, в своей работе Марковиц руководствуется принципом диверсификации активов, который показан ниже.

С целью повышения качества портфеля, Марковиц включает в расчеты степень взаимозависимости активов между собой через коэффициенты корреляции. Данное решение позволяет ему более качественно диверсифицировать активы в портфеле. Если переформулировать выражение «не клади все яйца в одну корзину» в соответствии с данным принципом, то получится «не составляй портфель из высокозависимых друг от друга активов».

К примеру, если при прочих равных условиях необходимо выбрать два актива из трех для составления портфеля, и этими тремя активами являются акции компаний «БМВ» (Германия), «Форд» (США) и «Макдональдс» (США), то, в соответствии с вышеописанным принципом, взаимозависимость «БМВ» и «Форда» значительно выше, чем любые другие сочетания, так как они представляют одну отрасль — машиностроение. Если углубиться и диверсифицировать активы еще и по региональному признаку, то сочетание «Форд» и «Макдональдс» также будет отбрасываться, так как компании относятся к одной стране — США. Таким образом, по принципу отраслевой и региональной диверсификации наш портфель будет состоять из акций «БМВ» (Германия) и «Макдональдс» (США).    

Прежде чем начать практическую часть, необходимо показать, каким образом происходит оптимизация параметров в модели Марковица. Оптимизация портфеля активов заключается в решении следующих задач:

  1. Минимизация риска портфеля при минимально приемлемом уровне доходности.
  2. Максимизация доходности портфеля при фиксированном уровне риска.

Марковиц проводит две отдельные оптимизации (что будем делать и мы), рассчитанные на нахождение оптимальной лотности активов портфеля, определяющих, в первом случае, на какой наименьший риск может рассчитывать инвестор, желающий иметь конкретный уровень доходности, и дающих, во втором случае, наибольшую доходность при приемлемом для инвестора риске.

Данное теоретическое введение было важным перед тем, как начать составлять математическую модель, так как позволяет понять принципы ее работы и эффективно использовать ее на практике. Перейдем к модели.

За 20 минут поможем разобраться с факторами успеха и причинами неудач на финансовых рынках

12 уроков онлайн-курса и 45 минут вебинара подскажут, как не терять деньги при трейдинге, а также куда следовать для эффективного развития.

Оптимизация на примере группы акций

Ниже мы рассмотрим два примера портфелей: один — составленный исключительно из акций, и второй — сформированный из разнородных активов. В роли данных выступают котировки цен закрытия месячных свечей за период в 13 месяцев с 1 декабря 2017 г. по 31 декабря 2018 г. Акции и другие рассматриваемые в примере активы выбраны случайным образом и не являются рекомендацией к торговле. Котировки могут незначительно отличаться у разных брокеров. Задачей данного примера является иллюстрация принципа оптимизации портфеля, которая позволит проделывать аналогичную работу с любыми другими данными.

Ниже на рисунке 1 в столбцах, помеченных синим цветом, представлены указанные выше котировки акций пяти компаний: Apple, Microsoft, Boeing, Citigroup и Tesla. В правой части таблицы, выделенной оранжевым цветом, по этим котировкам рассчитаны доходности каждого из активов по принципу ежемесячного прироста. То есть, чтобы получить доходность Apple на январь 2018 г. (-1,09%) необходимо посчитать прирост за месяц (167,43-169,27) и определить его долю в значении начального периода (-1,84/169,27). Для повышения точности прогноза можно рассчитывать доходность с помощью натурального логарифма по принципу G6=ln(B6/B5). Однако в данном примере для простоты мы будем пользоваться описанным выше принципом ежемесячного прироста.

Расчет среднемесячной доходности производится методом расчета среднего значения по всем доходностям для конкретной акции, то есть значения суммируются, и сумма делится на их количество — 12 периодов. Как результат, мы получаем, что, к примеру, в среднем за месяц акции Apple имеют отрицательный прирост в -0,12%.

Расчет акций на примере портфельной теории
Рисунок 1. Расчет доходностей для акций.

Значение риска рассчитывается методом определения стандартного отклонения по всем доходностям акции. В Excel данная процедура будет выглядеть так: риск для Apple = СТАНДОТКЛОН.В(G6:G17). Напомню, что в данном случает риск характеризует меру изменчивости или волатильности актива.

Следующим шагом после расчета индивидуальных характеристик каждой акции становится расчет доходности и уровня риска всего портфеля. В соответствии с принципами модели Марковица и здравым смыслом, мы убираем из дальнейших расчетов активы, которые дают отрицательную доходность: Apple и Citigroup.

Далее нам необходимо сформировать матрицу ковариаций, которая рассчитывается в Excel через вкладку «Данные» — «Анализ данных» — «Ковариация». Открыв данное окно, необходимо в ячейку «Входной интервал» вставить целевой диапазон (на рисунке 2 это D28:F39) и оставить группирование «по столбцам».

Расчет портфельной теории для акций
Рисунок 2. Расчет ковариаций и показателей совокупной доходности и риска портфеля для акций.

Далее, после формирования матрицы ковариаций, нам необходимо ввести придуманные нами доли активов в портфеле, которые нам кажутся приемлемыми на данный момент и которые в дальнейшем мы и будем оптимизировать. В примере они показаны как 0,2 для Microsoft, 0,3 для Boeing и 0,5 для Tesla.

Расчет совокупной доходности портфеля производится путем суммы произведений ожидаемых месячных доходностей каждого актива с его долей. То есть, J34 = D40*H29 + E40*H30 + F40*H31.

Расчет совокупного риска портфеля производится по формуле J35=КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(J32:L32; J29:L31); H29:H31)).

Таким образом, мы получаем, что при данном распределении долей в портфеле показатели его совокупной доходности и совокупного риска будут равны 1,37% и 7,74%, соответственно. Возникает вопрос: «как выбрать доли более грамотно, чтобы иметь более приемлемое соотношение доходности к риску?». На помощь приходит оптимизация.

Как было отмечено выше, Марковиц предлагает провести две оптимизации: (1) минимизация риска при заданном значении доходности и (2) максимизация доходности при заданном значении риска.

Проведение оптимизации проводится с помощью инструмента «Поиск решения», расположенного в графе «Данные» рядом с инструментом «Анализ данных». Если по какой-то причине данного инструмента на экране нет, его нужно подключить через «Файл» — «Параметры» — «Надстройки» — «Поиск решения».

На рисунке 3 показан результат оптимизации портфеля акций для минимизации риска при заданном значении доходности. Разберем его пошагово.

Расчет портфельной теории для акций
Рисунок 3. Оптимизация портфеля акций для минимизации риска при заданном значении доходности.

Сначала нам необходимо ввести значение минимальной допустимой доходности (в примере она придумана нами и равна 1,50%). Далее мы открываем инструмент «Поиск решения» и заполняем следующие графы:

  • «Оптимизировать целевую функцию» — кликаем на ячейку с совокупным риском портфеля (здесь «E57»);
  • «До» — нажимаем на «Минимум»;
  • «Изменяя ячейки переменных» — выделяем значения долей (здесь «C51:C53»);
  • «В соответствии с ограничениями» — ставим ограничения. (1) неотрицательность долей ($C$51 >= 0, $C$52 >= 0, $C$53 >= 0), (2) сумма долей должна равняться единице ($E$58 = 1, при условии, что сама E58 = C51+C52+C53), (3) совокупная доходность портфеля не менее минимальной приемлемой доходности ($E$56 >= $E$47).

В результате оптимизации мы получаем следующие параметры: совокупная доходность портфеля повысилась до 1,57% в месяц, совокупный риск сократился до 5,05% при условии, что 85% портфеля состоит из акций Microsoft и 15% — из акций Tesla.

Аналогичным образом проводится оптимизация для максимизации доходности портфеля при заданном риске. В параметрах «Поиска решений» необходимо заменить ячейку целевой функции на ячейку значения совокупной доходности портфеля, в графе «До» поставить «Максимум» и в ограничениях заменить условие «совокупная доходность портфеля не менее минимальной приемлемой доходности» на «совокупный риск портфеля не более максимально приемлемого риска». Для данного примера результаты представлены на рисунке 4.

Расчет портфельной теории для акций
Рисунок 4. Оптимизация портфеля акций для максимизации доходности при заданном значении риска.

Рассмотренный выше пример показывает, как можно с помощью достаточно нетрудных вычислений рассчитать доходности и уровни риска группы активов по историческим данным, а также оптимизировать доли активов в портфеле. При высокой степени повторяемости прошлого результата в будущем (к примеру, при сезонных паттернах) данная модель дает возможность делать расчеты соотношения «доходность/риск» с вполне допустимой точностью и представляться важным элементом анализа.

Статистика алгоритмического трейдинга + новые статьи и новости финансовых рынков в нашем Telegram канале

Оптимизация на примере разносторонних активов

Вторым исследованием данной статьи будет попытка адаптировать модель Марковица под другие биржевые и внебиржевые инструменты. Для данного исследования предполагается взять пять активов из разных сегментов финансовых рынков и проанализировать их по аналогичной выше разобранной схеме. В качестве выбранных активов будут представлены:

  1. EURUSD (FOREX).
  2. Нефть марки WTI (Товарный рынок).
  3. FTSE 100 (Биржевые индексы).
  4. Microsoft (Акции).
  5. Bitcoin (Криптовалюты).

Одной из наиболее ярко проявляющихся проблем модели Марковица является то, что она предполагает только приобретение активов в длинные позиции (то есть, расчет исключительно на рост актива). Поэтому для ее адаптации под другие инструменты, которые в современных условиях можно также торговать в шорт (открывать позиции на продажу актива), необходимо усложнить условие модели и ввести в нее параметр продаж.  

В качестве аналитической идеи предлагаем три сценария, каждый из которых будет разобран ниже:

  1. Сценарий «Все активы на покупку» (как в оригинальной модели и в выше разобранном примере с акциями).
  2. Сценарий «Невероятный успех», который предполагает, что мы угадали все направления (и в покупки, и в продажи) — вариант максимальной прибыли при условии открытия сделки в начале месяца и ее закрытия в конце.
  3. Сценарий «Полный провал», при котором мы не угадали ни одного направления — полностью обратное направление сценарию «невероятного успеха».

Переходим к рассмотрению каждого из сценариев.

Сценарий «Все активы на покупку»

По аналогии с выше рассмотренным формированием портфеля акций, мы просчитываем доходности и риск пяти новых активов. На рисунке 5 показана помесячная доходность выбранных активов и просчитана ожидаемая средняя месячная доходность и уровень риска для каждого из них. По понятным причинам — только один инструмент (Microsoft) дает положительную доходность — наш портфель на 100% будет состоять из их этих акций.

Расчет портфельной теории для разных инструментов
Рисунок 5. Расчет доходностей для сценария «Все активы на покупку».

Дальнейший анализ по этой модели имеет место быть, когда два и более актива показывают положительную ожидаемую доходность. В таком случае анализ проводится по аналогии с выше разобранным примером для акций.

Сценарий «Невероятный успех»

Представим, что мы можем открывать как длинные, так и короткие позиции, и, самое главное, что мы их все закрыли в плюс. Получается, что тогда нам не важен тип актива и характер торговли (открывать только сделки «на покупку» или еще и «на продажу»), а важна лишь его среднемесячная доходность. На рисунке 6 представлены новые данные доходности и риска.

Расчет портфельной теории для разных инструментов
Рисунок 6. Расчет доходностей для сценария «Невероятный успех».

На рисунке 7 показаны новые ковариации и значения совокупной доходности и совокупного риска портфеля, рассчитанные при условии, что каждый актив имеет в портфеле долю в 20%.

Расчет портфельной теории для разных инструментов
Рисунок 7. Расчет ковариаций и показателей совокупной доходности и риска портфеля для сценария «Невероятный успех».

Данные по оптимизации портфеля с целью минимизации риска проиллюстрированы на рисунке 8. С заданной минимальной приемлемой доходностью на уровне 10% мы получаем портфель с совокупным риском в 4,64% из трех инструментов: 38% Microsoft, 31% WTI и 31% BTCUSD.

Расчет портфельной теории для разных инструментов
Рисунок 8. Оптимизация портфеля для сценария «Невероятный успех» для минимизации риска при заданном значении доходности.

Ниже на рисунке 9 представлен заключительный слайд по данному сценарию, показывающий, что при повышении совокупного риска до 5% мы можем рассчитывать на рост совокупной доходности до 10,47% за счет перераспределения долей активов в следующую сторону: 34% Microsoft, 32% WTI и 34% BTCUSD.

Расчет портфельной теории для разных инструментов
Рисунок 9. Оптимизация портфеля для сценария «Невероятный успех» для максимизации доходности при заданном значении риска.

В качестве итога по сценарию «Невероятный успех» можно сказать то, что использование данной модели дает результат при наличии готовых показателей доходности активов (на рисунке 6 — строка «ожидаемая месячная доходность») и не зависит от характера торговли и типа активов. Другими словами, самостоятельный расчет ежепериодных доходностей по каждому активу (на рисунке 6 — данные в оранжевых колонках) позволяет в дальнейшем эффективно использовать принципы составления портфеля по модели Марковица.

В качестве идей для расчета показателя «ожидаемой месячной доходности» можно использовать совокупные данные из собственной торговой истории по любому желаемому активу или идти по аналогии с расчетом в сценарии «Невероятный успех», но с добавлением параметра вероятности успеха (в данном случае вероятность успеха по каждому активу равнялась 100%).

Сценарий «Полный провал»

Перейдем к рассмотрению последнего сценария, при котором ни одно направление движения цены не было определено верно. С точки зрения максимизации прибыли, данный сценарий не представляет из себя интереса, так как она в любом случает будет отрицательной, по причине того, что показанные на рисунке 10 значения ожидаемой месячной доходности меньше нуля.

Расчет портфельной теории для разных инструментов
Рисунок 10. Расчет доходностей для сценария «Полный провал».

В данном случае мы можем использовать модель Марковица в обратном режиме: просчитать минимально возможную отрицательную доходность при заданном риске. При этом, все выполняемые действия будут абсолютно идентичными выше приведенным сценариям, однако так как мы заранее формируем портфель из активов с отрицательной доходностью, мы можем сформировать доли таким образом, чтобы потери были минимальны.

На рисунке 11 показаны значения ковариаций и показатели совокупного риска и совокупной доходности портфеля в 2,95% и -7,10%, соответственно. Задача последующей оптимизации — повысить показатель доходности.

На данном этапе важно отметить, что сценарий «Полный провал» можно рассматривать как стресс-тест или реальный риск портфеля. Получив данные на рисунке 11, мы можем предположить, что при сохранении характера торговли и распределения долей между активами наши потери в дальнейшем не будут превышать 7,10% в месяц.

Расчет портфельной теории для разных инструментов
Рисунок 11. Расчет ковариаций и показателей совокупной доходности и риска портфеля для сценария «Полный провал».

Нашей задачей для данного примера является достижение минимально возможных потерь при заданном риске. Для начала, по аналогии, оптимизируем риск. На рисунке 12 проиллюстрирован портфель, снижающий не только показатели риска, но и показатель совокупной отрицательной доходности до 1,01% и -2,25%, соответственно.

Расчет портфельной теории для разных инструментов
Рисунок 12. Оптимизация портфеля для сценария «Полный провал» для минимизации риска при заданном значении доходности.

Позволив риску быть выше, чем минимально возможный вариант, мы оптимизируем систему и получаем, что при вложении 100% объема портфеля в один единственный актив (EURUSD), мы бы снизили совокупную отрицательную доходность до -1,35% при незначительном повышении риска на 0,18 п.п., что показано на рисунке 13.